Vojne, vojne ...
Det finns ett ord på ryska, война, som visst uttalas voine och betyder krig. Låter dock föga sannolikt att folk skulle gå omkring och muttra krig, krig. På finska finns ordet voi som enligt Google Translate betyder kan. Voine betyder kan ge, och voi ne betyder de kan (samma källa). Något som knappast gör mig klokare, om översättningen nu är att lita på. Voine på estniska betyder smörig. Och voi ne på lettiska betyder kan inte. Vilket kanske är den bästa förklaringen hittills, även om jag inte är övertygad.
Har delgivits intrycket att uttrycket är vanligt förekommande bland den samiska delen av befolkningen. Hittar dock inga belägg för att det skulle betyda något specifikt på samiska. Och ser man till stilen så påminner frasen faktiskt lite om oy vey på jiddisch, som lite lagom diffust översatt betyder bedrövelse eller förfäran.
Jag vill minnas att orden "vojne, vojne" yttras av nån finländare i den första Jönssonligan-filmen? Suck ... Ska jag kanske försöka acceptera att det helt enkelt är ett allmänt uttryck för uppgivenhet? Med eller utan ironisk underton, och eventuellt av finsk-ugriskt ursprung? Och gå och lägga mig och läsa lite istället?
Vi säger nog så. Voj, voj ...

Funderade precis på exakt samma sak. Googlade och kom hit till dig. Uttrycket används ju allmänt just som du säger för att uttrycka uppgivenhet eller som "oj, oj, oj", eller som jag själv skulle välja, istället för en djup suck.
Jag har trott att det är finska men dina efterforskningar visar att det kanske inte stämmer, iaf inte med den betydelse man allmänt kopplar den till. Jag som har finska rötter borde kanske ta tag i det här ordentligt. Kan bli en av sommarens missions :)