xrob

Så här fungerar det ju. Det borde alla kunna hålla med om. Men igår så frågade min sambo varför det fungerar på det här viset. Varför minus minus blir plus (medan plus plus inte blir minus). Och vad svarar man på en sån sak? "För att det är så?" Knappast ett godtagbart svar.

Hittade som tur var ett uttömmande svar på den här sidan nu på morgonen, tar mig friheten att kopiera in det här nedanför:

"Minus minus blir plus: Det gäller att -x är det tal som lagt till x ger summan 0. För t ex x = -7 innebär detta att -(-7) är det tal som lagt till -7 ger summan 0. Eftersom -7 + 7 = 0 så är det sökta talet -(-7) lika med 7. Allmänt gäller att -(-x) = x. På samma sätt är x - y det tal som lagt till y ger summan x. Då y = -z ger detta att x - (-z) är det tal som skall läggas till -z för att man skall få x. Men lägger man x + z till -z så får man ju x och detta medför att x - (-z) = x + z.

Minus gånger minus blir plus: Att (-x)(-y) = xy är en följd av att vissa räknelagar skall vara uppfyllda. Vi kan börja med att förklara varför (-x)y = -(xy). Distributiva lagen, dvs (a + b)c = ac + bc, ger att 0 = 0⋅y = (x + -(x))y = xy + (-x)y. Detta visar att om man lägger (-x)y till xy får man summan noll. Enligt vad som sades i första stycket innebär detta att (-x)y = -(xy). Vi får sedan att 0 = 0⋅(-y) = (x + (-x))(-y) = x(-y) + (-x)(-y), vilket ger att (-x)(-y) = -(x(-y)) = -((-y)x) = -(-(yx)) = yx = xy.

Minus delat med minus är plus: Detta följer direkt av att y/x är det tal som multiplicerat med x ger produkten y och reglerna för multiplikation.

[...]

[Minus minus blir plus, alternativ förklaring]

Vi försöker med tallinjen som har en nolla någonstans, negativa tal till vänster om nollan och positiva till höger. Talet 5 ligger då 5 enheter till höger om 0 och talet -5 ligger 5 enheter till vänster om 0. Att addera ett positivt tal, t ex 7, till ett tal skall betyda att man förflyttar sig så många enheter åt höger. Man inser då att -5 + 7 = 2 och 5 + 7 = 12. Att addera ett negativt tal innebär att flytta sig ett antal enheter åt vänster. Att addera -7 betyder att gå 7 enheter åt vänster. -5 + (-7) = -12, 5 + (-7) = -2. Att subtrahera betyder att gå åt motsatta hållet. Att subtrahera 7 från 5 betyder alltså att flytta sig 7 steg åt vänster. Att subtrahera (-7) från 5 att gå 7 enheter åt höger och då hamnar man i 12.

Vad gäller multiplikation kan man resonera på ett liknande sätt men där är kanske multiplikationstabellen bättre. En del av treans tabell bakifrån är 4⋅3 = 12, 3⋅3 = 9, 2⋅3 = 6, 1⋅3 = 3, 0⋅3 = 0. Hur skall vi fortsätta, dvs vad skall (-1)⋅3 vara? Eftersom talen minskat med 3 i varje steg innan så bör de väl fortsätta att göra det. Efter 0 bör alltså -3 komma. Fortsättningen blir (-1)⋅3 = -3, (-2)⋅3 = -6 osv. Ett grundläggande krav på multiplikation är att ordningsföljden inte skall ha någon betydelse. Vi inser då att 4⋅(-3) = -12, 3⋅(-3) = -9, 2⋅(-3) = -6, 1⋅(-3) = -3, 0⋅(-3) = 0. Här ökar talen med 3 i stället. Den naturliga fortsättningen blir (-1)⋅(-3) = 3, (-2)⋅(-3) = 6 osv."